Legea schimbării și conservării energiei mecanice totale. Legea conservării energiei mecanice

1.7. LEGEA CONSERVĂRII ENERGIEI MECANICE

Formularea legii conservării energiei mecanice. Formulare în cazul prezenței forțelor disipative. Reprezentarea grafică a energiei. Mișcări finite și infinite. Impact absolut elastic. Impact absolut inelastic.

Energia mecanică totală a sistemului- energia mișcării mecanice și a interacțiunii, i.e. egală cu suma energiilor cinetice și potențiale. Legea conservării energiei mecanice:într-un sistem de corpuri între care numai forțe conservatoare energia mecanică totală este conservată, adică nu se schimbă în timp. Acest - fundamental Legea naturii. Este o consecință omogenitatea timpului - invarianța legilor fizice în ceea ce privește alegerea punctului de referință temporală. Toate forțele din mecanică sunt de obicei împărțite în conservatorȘi neconservator. Forțele conservatoare sunt acelea a căror activitate nu depinde de forma traiectoriei (trasei) dintre două puncte, ci depinde doar de pozițiile inițiale și finale ale corpului față de celălalt. Cu alte cuvinte, munca efectuată de forțele conservatoare de-a lungul unei traiectorii închise este zero. Exemple de forțe conservatoare sunt gravitația, forța elastică etc. Acestea includ în primul rând forțe disipative(conversia energiei mecanice în alte tipuri de energie), de exemplu, forța de frecare. În cazul în care există schimbarea este egală cu munca forțelor disipative. Finit– mișcarea punctelor într-o zonă limitată a spațiului. Infinit– corpul merge la infinit. Impact absolut elastic - o coliziune a două corpuri, în urma căreia nu rămân deformații în ambele corpuri care interacționează și toată energia cinetică pe care corpurile o posedau înainte de impact este transformată înapoi în energie cinetică după impact. legi de conservare impulsul şi conservarea energiei mecanice sunt efectuate . Impact absolut inelastic - o ciocnire a două corpuri, în urma căreia corpurile se unesc, deplasându-se mai departe ca un singur corp. Neexecutat legea conservării energiei mecanice: din cauza deformării, o parte din energia cinetică se transformă în energia internă a corpurilor (încălzire).

Să introducem conceptul de energie mecanică totală a unei particule. Creșterea energiei cinetice a unei particule este egală cu munca elementară rezultată din toate forțele care acționează asupra particulei. Dacă o particulă se află într-un câmp potențial, atunci ea este acționată de o forță conservatoare din acest câmp potențial. În plus, asupra particulei pot acționa și alte forțe care au o origine diferită. Să-i numim forțe exterioare .

Astfel, rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra particulei poate fi reprezentată ca . Lucrarea tuturor acestor forțe se îndreaptă spre creșterea energiei cinetice a particulei:

Conform (6.7), munca forțelor câmpului este egală cu scăderea energiei potențiale a particulei, i.e. Înlocuind această expresie în cea anterioară și mutând termenul spre stânga, obținem

Din aceasta se poate observa că munca forțelor externe duce la creșterea valorii. Această cantitate - suma energiei cinetice și potențiale - se numește energia mecanică totală a unei particule dintr-un câmp :

asupra mișcării finale de la punctul 1 la punctul 2

(7 .3)

acestea. creșterea energiei mecanice totale a unei particule de-a lungul unei anumite căi este egală cu suma algebrică a muncii efectuate de toate forțele externe, acționând asupra unei particule pe aceeași cale. Dacă , atunci energia mecanică totală a particulei crește, dar dacă , atunci ea scade.

Energia mecanică totală a unei particule se poate modifica numai sub influența forțelor externe. Aceasta implică direct legea conservării energiei mecanice totale a unei particule într-un câmp extern: dacă forțele externe sunt absente sau astfel încât suma algebrică a puterilor lor să fie egală cu zero în timpul de interes pentru noi, atunci energia mecanică totală a particulei rămâne constantă în acest timp.. Cu alte cuvinte,

(7 .4)

Chiar și în această formă cea mai simplă, această lege de conservare face destul de ușor să obțineți răspunsuri la o serie de întrebări importante fără a implica ecuațiile de mișcare, care, după cum știm, sunt adesea asociate cu calcule greoaie și plictisitoare. Această circumstanță este cea care transformă legile de conservare într-un instrument de cercetare foarte eficient.

Să ilustrăm posibilitățile și avantajele oferite de aplicarea legii conservării (7.4) folosind următorul exemplu.

Exemplu. Lăsați particula să se miște într-un câmp potențial unidimensionalU(x. Dacă nu există forțe externe, atunci energia mecanică totală a particulei într-un anumit câmp, adică E, nu se modifică în timpul mișcării și putem rezolva pur și simplu, de exemplu, întrebări precum:

1. Determinați, fără a rezolva ecuația de bază a dinamicii,v(x) - viteza particulei în funcție de coordonatele acesteia. Pentru a face acest lucru, este suficient să știți, conform ecuației(7.4) , tip specific de curbă de potențialU(x) și valoarea energiei totale E (partea dreaptă a acestei ecuații).

2. Stabiliți regiunea de modificare a coordonatei x a particulei, în care aceasta poate fi situată la o valoare dată a energiei totale E. Este clar că în regiunea în careU> E, particula nu poate intra, deoarece energia potențialăUparticula nu poate depăși energia sa totală. De aici rezultă imediat că atunci când (Fig. 7.1) particula se poate deplasa în regiune

între coordonate (oscilează) sau în dreapta coordonatei . Particula nu se poate deplasa din prima regiune în a doua (sau invers): acest lucru este împiedicat de bariera potențială care separă ambele regiuni. Rețineți că atunci când o particulă se mișcă într-o regiune limitată a câmpului, se spune că se află într-un puț potențial, în cazul nostru - între .

Particula se comportă diferit atunci când (Fig. 7.1): întreaga zonă din dreapta este disponibilă pentru aceasta . Dacă în momentul inițial particula era în punctul , apoi în viitor se va muta la dreapta. Determinarea modificării energiei cinetice a unei particule în funcție de poziția sa x poate servi ca un exercițiu independent util.

Până acum ne-am limitat să luăm în considerare comportamentul unu particule din punct de vedere energetic. Acum să trecem la sistem de particule. Poate fi orice corp, gaz, orice mecanism, sistem solar etc.

În cazul general, particulele unui sistem pot interacționa atât între ele, cât și cu corpuri neincluse în sistemul dat. Se numește un sistem de particule asupra căruia nu acționează corpuri străine sau influența lor este neglijabilă închis sau izolat. Conceptul de sistem închis este o generalizare naturală a conceptului de punct material izolat și joacă un rol important în fizică.

Să introducem conceptul de energie potențială a unui sistem de particule. Să considerăm un sistem închis, între particulele căruia acționează doar forțele centrale, adică forțe care, pentru o anumită natură a interacțiunii, depind doar de distanța dintre ele și sunt direcționate de-a lungul liniei drepte care le leagă.

Să arătăm că în orice cadru de referință, munca tuturor acestor forțe în timpul tranziției unui sistem de particule de la o poziție la alta poate fi reprezentată ca o scădere a unei anumite funcții, care, pentru o anumită natură a interacțiunii, depinde doar asupra configurației sistemului în sine sau asupra locației relative a particulelor acestuia. Să numim această funcție proprii energia potenţială a sistemului, spre deosebire de extern energia potenţială care caracterizează interacţiunea unui sistem dat cu alte corpuri.

Să considerăm mai întâi un sistem de două particule. Să calculăm munca elementară a forțelor cu care aceste particule interacționează între ele. Să presupunem că într-un sistem de referință arbitrar, la un moment dat în timp, poziția particulelor este determinată de vectorii cu rază și . Dacă în timpul dt particulele s-au mișcat și, în consecință, atunci munca forțelor de interacțiune și este egală cu

Acum să luăm în considerare că, conform celei de-a treia legi a lui Newton, deci expresia anterioară poate fi rescrisă după cum urmează:

Să introducem un vector care caracterizează poziția primei particule în raport cu a doua. Apoi iar după înlocuirea în expresia pentru muncă obținem

.

Forța este centrală, prin urmare munca acestei forțe este egală cu scăderea energiei potențiale de interacțiune a unei perechi date de particule, adică.

Deoarece funcția depinde doar de distanța dintre particule, este clar că munca nu depinde de alegerea cadrului de referință.

Acum să considerăm un sistem de trei particule, deoarece rezultatul obținut în acest caz poate fi generalizat cu ușurință la un sistem de un număr arbitrar de particule. Lucrarea elementară pe care o fac toate forțele de interacțiune în timpul mișcării elementare a tuturor particulelor poate fi reprezentată ca suma lucrărilor elementare ale tuturor celor trei perechi de interacțiuni, i.e.

Dar pentru fiecare pereche de interacțiuni, așa cum sa arătat , De aceea

unde este functia energie potenţială de sine sistem de particule dat:

Deoarece fiecare termen al acestei sume depinde de distanța dintre particulele corespunzătoare, este evident că energia auto-potențială U a unui sistem dat depinde de poziția relativă a particulelor în același moment în timp sau, cu alte cuvinte, de configurația sistemului.

Raționament similar este valabil pentru un sistem de orice număr de particule. Prin urmare se poate argumenta că Fiecare configurație a unui sistem de particule arbitrar are propria sa energie potențială U , iar munca tuturor forțelor interne centrale la schimbarea configurației sistemului este egală cu scăderea energiei potențiale proprii a sistemului, adică.

(7 .5)

și cu mișcarea finală a tuturor particulelor sistemului

(7 .6)

unde și sunt valorile energiei potențiale a sistemului în starea inițială și finală.

Energia potențială proprie a sistemului U este o mărime neaditivă, adică în cazul general nu este egală cu suma energiilor potențiale proprii ale părților sale. De asemenea, este necesar să se țină cont de energia potențială a interacțiunii dintre părțile individuale ale sistemului

,

(7 .7)

unde este energia auto-potențială a unei părți a sistemului.

De asemenea, trebuie avut în vedere că energia potențială proprie a sistemului, precum energia potențială de interacțiune a fiecărei perechi de particule, este determinată până la adăugarea unei constante arbitrare, care, totuși, este complet neimportantă aici.

În concluzie, prezentăm formule utile pentru calcularea energiei potențiale proprii a sistemului. În primul rând, vom arăta că această energie poate fi reprezentată ca.

(7 .8)

unde este energia potențială de interacțiune a unei particule cu toate celelalte particule ale sistemului. Aici suma este preluată peste toate particulele sistemului. Să verificăm mai întâi validitatea acestei formule pentru un sistem de trei particule. S-a arătat mai sus că energia auto-potențială a acestui sistem Să transformăm această sumă după cum urmează. Să reprezentăm fiecare termen într-o formă simetrică: , pentru că este clar că . Apoi

Să grupăm membrii cu același prim index:

Fiecare sumă din paranteze reprezintă energia potențială a interacțiunii particulei cu celelalte două. Prin urmare, ultima expresie poate fi rescrisă după cum urmează:

care corespunde pe deplin formulei (7.8).

Generalizarea rezultatului obținut la un sistem arbitrar este evidentă, deoarece este clar că un astfel de raționament este complet independent de numărul de particule care formează sistemul.

Pentru un sistem, a cărui interacțiune între particule este gravitațională sau de natură coulombiană, formula (7.8) poate fi transformată într-o altă formă, folosind conceptul de potențial. Să înlocuim energia potențială a unei particule din (7.8) cu expresia , unde este masa (sarcina) particulei și este potențialul creat de toate celelalte particule ale sistemului în punctul în care se află particula.

unde este densitatea volumetrică a masei sau a sarcinii, este elementul de volum. Aici integrarea se realizează pe întregul volum ocupat de mase sau sarcini.

Să clasificăm forțele în funcție de proprietățile lor. Se știe că particulele sistemului în cauză pot interacționa atât între ele, cât și cu corpuri neincluse în acest sistem. În conformitate cu aceasta, se numesc forțele de interacțiune dintre particulele sistemului intern , și forțe cauzate de acțiunea altor corpuri neincluse în acest sistem - extern. Într-un cadru de referință non-inerțial, acesta din urmă ar trebui să includă și forțe inerțiale.

În plus, toate forțele sunt împărțite în potenţial Și nepotenţial . Forțele potențiale sunt cele care, pentru un anumit tip de interacțiune, depind doar de configurația sistemului mecanic. Munca acestor forțe, așa cum s-a arătat, este egală cu pierderea de energie potențială a sistemului. Forțele nepotențiale includ așa-numitele disipativ forțele sunt forțele de frecare și rezistență, precum și energie forțe care provoacă o creștere a energiei mecanice a unui sistem datorită altor tipuri de energie (de exemplu, explozia unui obuz de artilerie). O caracteristică importantă a acestor forțe este că munca totală intern forțele disipative ale sistemului luat în considerare sunt negative, iar forțele energetice sunt pozitive și în orice cadru de referință. Să demonstrăm acest lucru pentru forțele disipative.

Orice forță disipativă poate fi reprezentată în formă

(7 . 1 4)

unde este viteza unui corp dat față de alt corp (sau mediu) cu care interacționează; - un coeficient pozitiv, in functie in cazul general de viteza. Forța este întotdeauna îndreptată opus vectorului. În funcție de alegerea sistemului de referință, munca efectuată de această forță poate fi fie pozitivă, fie negativă. Lucrul total al tuturor forțelor disipative interne este întotdeauna negativ . Trecând la demonstrarea acestui lucru, observăm în primul rând că forțele disipative interne într-un sistem dat vor apărea în perechi, iar în fiecare pereche, conform celei de-a treia legi a lui Newton, ele sunt identice ca mărime și opuse ca direcție. Să găsim munca elementară a unei perechi arbitrare de forțe de interacțiune disipative între corpuri 1 Și 2 într-un cadru de referință în care vitezele acestor corpuri în acest moment sunt egale:

Acum să luăm în considerare asta - viteza corpului 1 relativ la corp 2 , și de asemenea că . Apoi expresia pentru muncă este transformată după cum urmează:

Acest lucru arată că munca unei perechi arbitrare de forțe de interacțiune disipative interne este întotdeauna negativă și, prin urmare, munca totală a tuturor perechilor de forțe disipative interne este întotdeauna negativă. Astfel, într-adevăr,

(7 . 1 5)

Acum putem formula legea conservării energiei mecanice totale a unui sistem de particule. S-a arătat mai sus că creșterea energiei cinetice a sistemului este egală cu munca efectuată Toate forţele care acţionează asupra Toate particule ale sistemului. Împărțind aceste forțe în externe și interne și interne, la rândul lor, în potențiale și nepotențiale, scriem afirmația anterioară după cum urmează:

Acum să luăm în considerare faptul că munca forțelor potențiale interne este egală cu pierderea energiei potențiale proprii a sistemului, adică.

Apoi expresia anterioară va lua forma

Evident energia E depinde de vitezele particulelor sistemului, de natura interacțiunii dintre ele și de configurația sistemului. În plus, energie E, precum energia potențială U, se determină până la adăugarea unei constante arbitrare neimportante și este mărimea non-aditiv , adică energie E sistemul nu este egal în cazul general cu suma energiilor părților sale individuale. În conformitate cu (7.7)

(7 . 1 8)

unde este energia mecanică a unei părți a sistemului, este energia potențială de interacțiune a părților sale individuale.

Să revenim la formula (7.16). Să o rescriem ținând cont de (7.17) în formă

La începutul acestui capitol, am spus că energia, ca și impulsul, este conservată. Cu toate acestea, când ne-am uitat la energiile cinetice și potențiale, nu s-a spus nimic despre conservarea lor. Care este legea conservării energiei?

Să luăm în considerare modul în care energia corpurilor care interacționează se schimbă numaiîmpreună. Astfel de sisteme, după cum știm, sunt numite închis. Un astfel de sistem poate avea atât energie cinetică, cât și energie potențială. Cinetic - deoarece corpurile sistemului se pot mișca, potențial - deoarece corpurile sistemului interacționează între ele. Atât energia sistemului se poate schimba în timp.

Să notăm prin E p1 este energia potențială a sistemului la un moment dat în timp și după Ek 1 energia cinetică totală a unui sistem de corpuri în același moment de timp. Energiile potențiale și cinetice ale acelorași corpuri într-un alt moment de timp vor fi notate, respectiv, prin E P2Și E k 2

În paragrafele precedente, am stabilit că atunci când corpurile interacționează între ele prin forțe de gravitație sau elasticitate, munca efectuată de aceste forțe este egală cu modificarea energiei potențiale a corpurilor sistemului luată cu semnul opus:

Pe de altă parte, conform teoremei energiei cinetice, aceeași muncă este egală cu modificarea energiei cinetice:

A = E k2 – E k1 (2)

Energia se schimbă de la un tip la altul.

ÎN Părțile stângi ale egalităților (1) și (2) conțin aceeași cantitate - lucrul forțelor de interacțiune dintre corpurile sistemului. Aceasta înseamnă că părțile drepte sunt egale între ele:

E k2 - E k 1 = - (Ep 2 - Ep 1).(3)

Din această egalitate este clar că energia cinetică și potențială ca urmare a interacțiunii și mișcării corpurilor se modifică astfel încât creșterea unuia dintre ele este egală cu scăderea celuilalt. Cu cât unul dintre ele crește, celălalt scade. Lucrurile par ca se intampla transformare un tip de energie în altul. Aceasta este o caracteristică importantă a cantității numite energie: există diferite forme de energie și pot fi transformate una în alta. Dar niciuna dintre ele nu se poate spune că s-a păstrat.

Energie mecanică totală. Legea conservării energiei mecanice totale.

Dacă din două tipuri de energie una scade exact cât crește cealaltă, atunci asta înseamnă că sumă energiile ambelor tipuri rămân neschimbate. Acest lucru poate fi văzut din formula (3), care poate fi rescrisă după cum urmează:

E k 2 + Ep 2 = E k 1 + Ep 1.(4)

În partea stângă a ecuației vedem suma energiilor cinetice și potențiale ale unui sistem de corpuri la un moment dat, în dreapta - aceeași cantitate într-un alt moment în timp. Această sumă se numește energie mecanică totală sisteme. Pentru un sistem de corpuri în care acționează forța gravitației, de exemplu, pentru sistemul „Pământ - un corp care cade” sau „Pământ - un corp aruncat în sus”, este egal cu mgh+mv 2 /2.

Dacă între corpurile sistemului acţionează o forţă elastică, atunci energia mecanică totală se va scrie după cum urmează:

kx 2 /2 + mv 2 /2

Egalitatea (4) înseamnă că energia mecanică totală a unui sistem închis de corpuri rămâne neschimbată, este salvat. Aceasta este legea conservării energie.

Energia mecanică totală a unui sistem închis de corpuri care interacționează cu forțele gravitaționale sau elastice rămâne neschimbată pentru orice mișcare a corpurilor sistemului.

Transformări energetice și muncă.

Faptul că același lucru duce la o creștere a energiei cinetice sau la aceeași scădere a energiei potențiale înseamnă că munca este egală cu energia convertită de la un tip la altul. Am văzut, de exemplu, că munca pozitivă efectuată de o forță este egală cu o scădere a energiei potențiale. Dar, conform legii conservării energiei totale, energia potențială nu poate scădea fără a se transforma în energie cinetică!

Legea conservării energiei, ca și legea conservării impulsului, poate fi folosită pentru a rezolva multe probleme mecanice. În acest fel, multe probleme sunt rezolvate mai simplu decât prin aplicarea directă a legilor mișcării.

1. Ce este energia mecanică totală?

2. Care este legea conservării energiei mecanice?

3. Este îndeplinită legea conservării energiei mecanice dacă gravitația și forța elastică acționează simultan?

4. Cum afectează acțiunea unei forțe externe energia unui sistem de corpuri? Energia mecanică totală este conservată în acest caz? 5. Satelitul se rotește pe orbită în jurul Pământului. Folosind un motor rachetă, a fost transferat pe o altă orbită. S-a schimbat energia mecanică?

Dacă corpurile care alcătuiesc sistem mecanic închis, interacționează între ele numai prin forțele gravitației și elasticității, atunci munca acestor forțe este egală cu diferența de energie potențială:

Conform teoremei energiei cinetice, această lucrare este egală cu modificarea energiei cinetice a corpurilor:

Prin urmare:

sau . (5.16)

Suma energiei cinetice și potențiale a corpurilor care alcătuiesc un sistem închis și interacționează între ele prin forțe gravitaționale și elastice rămâne neschimbată.

Suma E = E k + E p este energia mecanică totală. A primit legea conservării energiei mecanice totale :

Legea conservării energiei mecanice este îndeplinită numai atunci când corpurile dintr-un sistem închis interacționează între ele prin forțe conservative, adică forțe pentru care poate fi introdus conceptul de energie potențială.

În condiții reale, corpurile în mișcare sunt aproape întotdeauna acționate, împreună cu forțele gravitaționale, forțele elastice și alte forțe conservatoare, de forțe de frecare sau forțe de rezistență a mediului.

Forța de frecare nu este conservativă. Munca efectuată de forța de frecare depinde de lungimea traseului.

Dacă între corpurile care alcătuiesc un sistem închis acţionează forţe de frecare, atunci energia mecanică nu este conservată. O parte din energia mecanică este transformată în energie internă a corpurilor (încălzire).

În timpul oricărei interacțiuni fizice, energia nu apare și nici nu dispare. Se schimbă doar de la o formă la alta.

Acest fapt stabilit experimental exprimă o lege fundamentală a naturii - legea conservării și transformării energiei.

Legea conservării energiei mecanice și legea conservării impulsului fac posibilă găsirea de soluții la problemele mecanice în cazurile în care forțele care acționează sunt necunoscute. Un exemplu de acest tip de problemă este interacțiunea de impact a corpurilor.

Un impact (sau o coliziune) se numește de obicei o interacțiune pe termen scurt a corpurilor, în urma căreia vitezele lor suferă modificări semnificative. În timpul unei coliziuni de corpuri, între ele acționează forțe de impact pe termen scurt, a căror magnitudine, de regulă, este necunoscută. Prin urmare, interacțiunea impactului nu poate fi considerată direct folosind legile lui Newton. Aplicarea legilor de conservare a energiei și a impulsului face posibilă excluderea în sine a procesului de coliziune din considerare și obținerea unei legături între vitezele corpurilor înainte și după ciocnire, ocolind toate valorile intermediare ale acestor cantități.

În mecanică, sunt adesea folosite două modele de interacțiune a impactului - impacturi absolut elastice și absolut inelastice.

Un impact absolut inelastic este o interacțiune de impact în care corpurile se conectează (se lipesc împreună) unele cu altele și merg mai departe ca un singur corp.

Într-o coliziune complet inelastică, energia mecanică nu este conservată. Se transformă parțial sau complet în energia internă a corpurilor (încălzire).

Un impact absolut elastic este o coliziune în care energia mecanică a unui sistem de corpuri este conservată.

Cu un impact absolut elastic, împreună cu legea conservării impulsului, legea conservării energiei mecanice este îndeplinită.

Legea conservării energiei afirmă că energia unui corp nu dispare sau mai apare niciodată, ea poate fi doar transformată de la un tip la altul. Această lege este universală. Are propria sa formulare în diferite ramuri ale fizicii. Mecanica clasică are în vedere legea conservării energiei mecanice.

Energia mecanică totală a unui sistem închis de corpuri fizice între care acţionează forţele conservatoare este o valoare constantă. Așa se formulează legea conservării energiei a lui Newton.

Un sistem fizic închis sau izolat este considerat a fi unul care nu este afectat de forțele externe. Nu există schimb de energie cu spațiul înconjurător, iar energia proprie pe care o posedă rămâne neschimbată, adică se păstrează. Într-un astfel de sistem, doar forțele interne acționează, iar corpurile interacționează între ele. Doar transformarea energiei potențiale în energie cinetică și invers poate avea loc în ea.

Cel mai simplu exemplu de sistem închis este o pușcă cu lunetă și un glonț.

Tipuri de forțe mecanice

Forțele care acționează în interiorul unui sistem mecanic sunt de obicei împărțite în conservative și neconservative.

Conservator se consideră forţe a căror activitate nu depinde de traiectoria corpului căruia i se aplică, ci este determinată doar de poziţia iniţială şi finală a acestui corp. Se mai numesc și forțele conservatoare potenţial. Lucrul efectuat de astfel de forțe de-a lungul unei bucle închise este zero. Exemple de forțe conservatoare - gravitație, forță elastică.

Toate celelalte forțe sunt numite neconservator. Acestea includ forța de frecare și forța de rezistență. Se mai numesc si ei disipativ forte. Aceste forțe, în timpul oricăror mișcări într-un sistem mecanic închis, efectuează un lucru negativ, iar sub acțiunea lor, energia mecanică totală a sistemului scade (se disipă). Se transformă în alte forme de energie, nemecanice, de exemplu căldură. Prin urmare, legea conservării energiei într-un sistem mecanic închis poate fi îndeplinită numai dacă nu există forțe neconservative în el.

Energia totală a unui sistem mecanic este formată din energia cinetică și potențială și este suma lor. Aceste tipuri de energii se pot transforma unele în altele.

Energie potențială

Energie potențială se numește energia de interacțiune a corpurilor fizice sau a părților lor între ele. Este determinată de poziția lor relativă, adică de distanța dintre ele, și este egală cu munca care trebuie făcută pentru a muta corpul de la punctul de referință în alt punct din câmpul de acțiune al forțelor conservatoare.

Orice corp fizic nemișcat ridicat la o anumită înălțime are energie potențială, deoarece este acționat de gravitație, care este o forță conservatoare. O astfel de energie este deținută de apa de la marginea unei cascade și de o sanie pe vârful unui munte.

De unde a venit această energie? În timp ce corpul fizic a fost ridicat la o înălțime, se lucra și se consuma energie. Această energie este stocată în corpul ridicat. Și acum această energie este gata să lucreze.

Cantitatea de energie potențială a unui corp este determinată de înălțimea la care se află corpul în raport cu un anumit nivel inițial. Putem lua orice punct pe care îl alegem ca punct de referință.

Dacă luăm în considerare poziția corpului față de Pământ, atunci energia potențială a corpului de pe suprafața Pământului este zero. Și deasupra h se calculeaza cu formula:

E p = m ɡ h ,

Unde m - masa corpului

ɡ - accelerarea gravitației

h – înălțimea centrului de masă al corpului față de Pământ

ɡ = 9,8 m/s 2

Când un corp cade de la înălțime h 1 pana la inaltime h 2 gravitația funcționează. Această muncă este egală cu modificarea energiei potențiale și are o valoare negativă, deoarece cantitatea de energie potențială scade atunci când corpul cade.

A = - ( E p2 – E p1) = - ∆ E p ,

Unde E p1 – energia potenţială a corpului la înălţime h 1 ,

E p2 - energia potenţială a corpului la înălţime h 2 .

Dacă corpul este ridicat la o anumită înălțime, atunci se lucrează împotriva forțelor gravitaționale. În acest caz are o valoare pozitivă. Și cantitatea de energie potențială a corpului crește.

Un corp deformat elastic (arc comprimat sau întins) are și energie potențială. Valoarea sa depinde de rigiditatea arcului și de lungimea la care a fost comprimat sau întins și este determinată de formula:

E p = k·(∆x) 2 /2 ,

Unde k - coeficientul de rigiditate,

∆x – alungirea sau compresia corpului.

Energia potențială a unui arc poate funcționa.

Energie kinetică

Tradus din greacă, „kinema” înseamnă „mișcare”. Energia pe care o primește un corp fizic ca urmare a mișcării sale se numește cinetică. Valoarea acestuia depinde de viteza de mișcare.

O minge de fotbal care se rostogolește pe un teren, o sanie care se rostogolește pe un munte și continuă să se miște, o săgeată trasă dintr-un arc - toate au energie cinetică.

Dacă un corp este în repaus, energia lui cinetică este zero. De îndată ce o forță sau mai multe forțe acționează asupra unui corp, acesta va începe să se miște. Și din moment ce corpul se mișcă, forța care acționează asupra lui funcționează. Lucrul de forță, sub influența căreia un corp aflat în stare de repaus intră în mișcare și își schimbă viteza de la zero la ν , numit energie kinetică masa corpului m .

Dacă în momentul inițial de timp corpul era deja în mișcare, iar viteza lui a contat ν 1 , iar în momentul final a fost egal cu ν 2 , atunci munca efectuată de forța sau forțele care acționează asupra corpului va fi egală cu creșterea energiei cinetice a corpului.

∆ E k = E k 2 - Ek 1

Dacă direcția forței coincide cu direcția mișcării, atunci se efectuează o muncă pozitivă și energia cinetică a corpului crește. Și dacă forța este îndreptată în direcția opusă direcției de mișcare, atunci se face o muncă negativă, iar corpul emite energie cinetică.

Legea conservării energiei mecanice

Ek 1 + E p1= E k 2 + E p2

Orice corp fizic situat la o anumită înălțime are energie potențială. Dar când cade, începe să-și piardă această energie. Unde merge ea? Se dovedește că nu dispare nicăieri, ci se transformă în energia cinetică a aceluiași corp.

Presupune , sarcina este fixată fix la o anumită înălțime. Energia sa potențială în acest punct este egală cu valoarea sa maximă. Dacă îi dăm drumul, va începe să cadă cu o anumită viteză. În consecință, va începe să dobândească energie cinetică. Dar, în același timp, energia sa potențială va începe să scadă. În punctul de impact, energia cinetică a corpului va atinge un maxim, iar energia potențială va scădea la zero.

Energia potențială a unei mingi aruncate de la înălțime scade, dar energia cinetică a acesteia crește. O sanie în repaus pe vârful unui munte are energie potențială. Energia lor cinetică în acest moment este zero. Dar când încep să se rostogolească în jos, energia cinetică va crește, iar energia potențială va scădea cu aceeași cantitate. Și suma valorilor lor va rămâne neschimbată. Energia potențială a unui măr agățat de un copac atunci când acesta cade este convertită în energia sa cinetică.

Aceste exemple confirmă în mod clar legea conservării energiei, care spune că energia totală a unui sistem mecanic este o valoare constantă . Energia totală a sistemului nu se modifică, dar energia potențială se transformă în energie cinetică și invers.

Cu ce ​​cantitate scade energia potențială, energia cinetică crește cu aceeași cantitate. Suma lor nu se va schimba.

Pentru un sistem închis de corpuri fizice, următoarea egalitate este adevărată:
E k1 + E p1 = E k2 + E p2,
Unde E k1, E p1 - energiile cinetice și potențiale ale sistemului înainte de orice interacțiune, E k2, E p2 - energiile corespunzătoare după el.

Procesul de conversie a energiei cinetice în energie potențială și invers poate fi văzut urmărind un pendul oscilant.

Click pe imagine

Fiind în poziția de extremă dreaptă, pendulul pare să înghețe. În acest moment, înălțimea sa deasupra punctului de referință este maximă. Prin urmare, energia potențială este și ea maximă. Și valoarea cinetică este zero, deoarece nu se mișcă. Dar în clipa următoare pendulul începe să se miște în jos. Viteza lui crește și, prin urmare, energia cinetică crește. Dar pe măsură ce înălțimea scade, la fel și energia potențială. În punctul cel mai de jos va deveni egal cu zero, iar energia cinetică va atinge valoarea maximă. Pendulul va trece peste acest punct și va începe să se ridice spre stânga. Energia sa potențială va începe să crească, iar energia cinetică va scădea. etc.

Pentru a demonstra transformările energetice, Isaac Newton a inventat un sistem mecanic numit leagănul lui Newton sau mingile lui Newton .

Click pe imagine

Dacă devii în lateral și apoi eliberezi prima bilă, energia și impulsul acesteia vor fi transferate ultimei prin trei bile intermediare, care vor rămâne nemișcate. Și ultima minge se va devia cu aceeași viteză și se va ridica la aceeași înălțime ca prima. Apoi, ultima bilă își va transfera energia și impulsul prin bilele intermediare către prima etc.

Mingea mutată în lateral are energie potențială maximă. Energia sa cinetică în acest moment este zero. După ce a început să se miște, pierde energie potențială și câștigă energie cinetică, care în momentul ciocnirii cu a doua bilă atinge un maxim, iar energia potențială devine egală cu zero. În continuare, energia cinetică este transferată la a doua, apoi la a treia, a patra și a cincea bile. Acesta din urmă, după ce a primit energie cinetică, începe să se miște și se ridică la aceeași înălțime la care se afla prima minge la începutul mișcării sale. Energia sa cinetică în acest moment este zero, iar energia sa potențială este egală cu valoarea sa maximă. Apoi începe să cadă și transferă energie bilelor în același mod, în ordine inversă.

Acest lucru continuă destul de mult timp și ar putea continua la infinit dacă nu ar exista forțe neconservatoare. Dar, în realitate, în sistem acționează forțe disipative, sub influența cărora bilele își pierd energia. Viteza și amplitudinea lor scad treptat. Și până la urmă se opresc. Acest lucru confirmă faptul că legea conservării energiei este îndeplinită numai în absența forțelor neconservative.

Energia mecanică totală a unui sistem de corpuri este suma energiilor cinetice și potențiale:

Modificarea energiei cinetice a sistemului este egală cu munca totală a tuturor forțelor care acționează asupra corpurilor acestui sistem:

∆Ek = Apot + Anepot + Aext (1)

Modificarea energiei potențiale a sistemului este egală cu munca forțelor potențiale cu semnul opus:

∆Eп = - Аpot (2)

Evident, modificarea energiei mecanice totale este egală cu:

∆E = ∆Eп + ∆Eк (3)

Din ecuațiile (1-3) obținem că modificarea energiei mecanice totale este egală cu munca totală a tuturor forțelor externe și forțelor interne nepotențiale.

∆Ek = Aext + Anepot (4)

Formula (4) este legea modificării energiei mecanice totale sisteme telefonice

Ce este legea conservării energiei mecanice? Legea conservării energiei mecanice este că energia mecanică totală a unui sistem închis rămâne neschimbată.

4) Mișcarea de rotație. Moment de impuls. Tensor de inerție. Energia cinetică și momentul unghiular al unui corp solid. Teoremele lui König și Steiner-Huygens.

Mișcarea de rotație.

Mișcarea de rotație- tipul mișcării mecanice. În timpul mișcării de rotație a unui corp absolut rigid, punctele sale descriu cercuri situate în planuri paralele. Centrele tuturor cercurilor se află pe aceeași dreaptă, perpendiculară pe planurile cercurilor și numită axă de rotație. Axa de rotație poate fi situată în interiorul corpului sau în exteriorul acestuia. Axa de rotație într-un sistem de referință dat poate fi mobilă sau staționară.

Cu rotație uniformă (T rotații pe secundă),

§ Frecvența de rotație- numărul de rotații ale corpului pe unitatea de timp.

,

§ Perioada de rotație- timpul unei revoluții complete. Perioada de rotație T iar frecvenţa ei sunt legate de .

§ Viteza liniară punct situat la distanta R de axa de rotatie

§ Viteză unghiulară rotația corpului

.

§ Energia cinetică a mișcării de rotație

Unde eu z- momentul de inerție al corpului față de axa de rotație. - viteză unghiulară

Moment de impuls.

Impuls caracterizează cantitatea de mișcare de rotație. O cantitate care depinde de cât de multă masă se rotește, de modul în care este distribuită în raport cu axa de rotație și cu ce viteză are loc rotația.

Trebuie remarcat faptul că rotația aici este înțeleasă într-un sens larg, nu doar ca rotație regulată în jurul unei axe. De exemplu, chiar și atunci când un corp se mișcă în linie dreaptă pe lângă un punct imaginar arbitrar care nu se află pe linia de mișcare, are și moment unghiular. Poate cel mai mare rol îl joacă momentul unghiular în descrierea mișcării de rotație actuale.

Momentul unghiular al unui sistem cu buclă închisă este conservat.

Momentul unghiular al unei particule în raport cu un anumit punct de referință este determinat de produsul vectorial dintre vectorul său rază și impulsul:

unde este vectorul rază al particulei în raport cu originea fixă ​​selectată într-un cadru de referință dat, este impulsul particulei.

Dacă suma momentelor forțelor care acționează asupra unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe este egală cu zero, atunci momentul unghiular este conservat (legea conservării momentului unghiular):

Derivata momentului unghiular al unui corp rigid in raport cu timpul este egala cu suma momentelor tuturor fortelor care actioneaza asupra corpului:

Tensor de inerție.

Tensor de inerție- în mecanica corpului rigid - o mărime tensorală care leagă momentul unghiular al unui corp și energia cinetică a rotației acestuia cu viteza sa unghiulară:

unde este tensorul de inerție, este viteza unghiulară, este momentul unghiular

Energie kinetică.

Energie kinetică- energia unui sistem mecanic, în funcție de viteza de mișcare a punctelor sale. Unitatea de măsură SI este Joule. Energia cinetică este diferența dintre energia totală a unui sistem și energia sa de repaus. Energia cinetică a mișcării de translație și rotație este adesea eliberată.

Pentru un corp absolut rigid, energia cinetică totală poate fi scrisă ca suma energiei cinetice a mișcării de translație și rotație:

unde: - masa corpului, - viteza centrului de masă al corpului, - momentul de inerție al corpului, - viteza unghiulară a corpului.

teorema lui Koenig.

teorema lui Koenig vă permite să exprimați energia cinetică totală a sistemului prin energia de mișcare a centrului de masă și energia de mișcare relativă la centrul de masă.

Energia cinetică a unui sistem este energia de mișcare a centrului de masă plus energia de mișcare față de centrul de masă:

,

unde este energia cinetică totală, este energia de mișcare a centrului de masă și este energia cinetică relativă.

Cu alte cuvinte, energia cinetică totală a unui corp sau a unui sistem de corpuri în mișcare complexă este egală cu suma energiei sistemului în mișcare de translație și a energiei sistemului în mișcare de rotație față de centrul de masă.

Teorema Steiner-Huygens.

Teorema Huygens-Steiner: momentul de inerție al unui corp față de o axă arbitrară este egal cu suma momentului de inerție al acestui corp față de o axă paralelă cu acesta, care trece prin centrul de masă al corpului și produsul masei corporale cu pătratul distanței dintre axe:

Unde este momentul de inerție cunoscut în jurul axei care trece prin centrul de masă al corpului, este momentul de inerție dorit în jurul axei paralele, este masa corpului, este distanța dintre axele indicate.

5) Sistem de două particule. Masa redusa. Câmpul central. legile lui Kepler.

Masa redusa.

Masa redusa- o caracteristică condiționată a distribuției maselor într-un sistem mecanic în mișcare, în funcție de parametrii fizici ai sistemului (masă, momente de inerție etc.) și de legea mișcării acestuia.

De obicei, masa redusă este determinată din egalitate , unde este energia cinetică a sistemului și este viteza punctului sistemului la care se reduce masa. Într-o formă mai generală, masa redusă este coeficientul de inerție în exprimarea energiei cinetice a unui sistem cu conexiuni staționare, a cărui poziție este determinată de coordonate generalizate

unde punctul înseamnă diferențiere în funcție de timp și există funcții de coordonate generalizate.

Sistem de două particule.

Problema celor două corpuri este de a determina mișcarea a două particule punctiforme care interacționează numai între ele. Exemplele comune includ un satelit care orbitează în jurul unei planete, o planetă care orbitează în jurul unei stele.

Problema cu două corpuri poate fi reprezentată ca două probleme independente cu un singur corp care implică o soluție pentru mișcarea unei particule într-un potențial extern. Deoarece multe probleme cu un singur corp pot fi rezolvate exact, poate fi rezolvată și problema corespunzătoare cu două corpuri. În schimb, problema celor trei corpuri (și, mai general, problema n-corpilor) nu poate fi rezolvată decât în ​​cazuri speciale.

În problema celor două corpuri, care apare, de exemplu, în mecanica cerească sau în teoria împrăștierii, masa redusă apare ca o anumită masă efectivă atunci când problema celor două corpuri se reduce la două probleme despre un corp. Luați în considerare două corpuri: unul cu masă și celălalt cu masă. Problema echivalentă a unui singur corp ia în considerare mișcarea unui corp cu o masă redusă egală cu

unde forta care actioneaza asupra acestei mase este data de forta care actioneaza intre cele doua corpuri. Se poate observa că masa redusă este egală cu jumătate din media armonică a celor două mase.

Câmpul central.

După ce am redus problema mișcării a două corpuri la problema mișcării unui singur corp, am ajuns la problema determinării mișcării unei particule într-un câmp extern, în care energia sa potențială depinde numai de distanța până la un anumit corp. punct fix; un astfel de câmp se numește central. Forta

care acționează asupra particulei, în valoare absolută, de asemenea, depinde doar de și este direcționat în fiecare punct de-a lungul vectorului rază.

La deplasarea în câmpul central se păstrează momentul sistemului relativ la centrul câmpului. Pentru o particulă aceasta este

legile lui Kepler.

legile lui Kepler- trei relaţii empirice. Descrieți o orbită heliocentrică idealizată a unei planete. În cadrul mecanicii clasice, ele sunt derivate din rezolvarea problemei celor două corpuri prin trecerea la limita / → 0, unde , sunt masele planetei și ale Soarelui.

1. Fiecare planetă a sistemului solar se învârte într-o elipsă, la unul dintre focarele cărora se află Soarele.

2. Fiecare planetă se mișcă într-un plan care trece prin centrul Soarelui, iar în perioade egale de timp, vectorul rază care leagă Soarele și planeta descrie zone egale.

3. Pătratele perioadelor de revoluție ale planetelor din jurul Soarelui sunt legate ca cuburi ale semi-axelor majore ale orbitelor planetelor. Acest lucru este valabil nu numai pentru planete, ci și pentru sateliții lor.

6) Funcția Lagrange. Ecuații Lagrange. Impulsuri generalizate, energie. Coordonate ciclice. Funcția lui Hamilton și ecuațiile lui Hamilton.

Funcția Lagrange.

7) Vibrații armonice. Amplitudine. Frecvență. Pendul cu arc, pendul matematic, pendul fizic.

Vibrații armonice.

Oscilația armonică este un fenomen de modificare periodică a oricărei mărimi, în care dependența de argument are caracterul unei funcții sinus sau cosinus. De exemplu, o cantitate oscilează armonios și se modifică în timp după cum urmează:

Unde X- valoarea cantității în schimbare, t- timp, alți parametri sunt constanti: A- amplitudinea oscilațiilor, ω - frecvența ciclică a oscilațiilor, - faza completă a oscilațiilor, - faza inițială a oscilațiilor.

Oscilatie armonica generalizata in forma diferentiala

(Orice soluție netrivială a acestei ecuații diferențiale este o oscilație armonică cu o frecvență ciclică)

§ Vibrații libere sunt efectuate sub influența forțelor interne ale sistemului după ce sistemul a fost scos din poziția sa de echilibru. Pentru ca oscilațiile libere să fie armonice, este necesar ca sistemul oscilator să fie liniar (descris prin ecuații liniare ale mișcării) și să nu existe disipare a energiei în el (acesta din urmă ar provoca atenuare).

§ Vibrații forțate se efectuează sub influenţa unei forţe periodice externe. Pentru ca acestea să fie armonice, este suficient ca sistemul oscilator să fie liniar (descris prin ecuații liniare ale mișcării), iar forța externă însăși se schimbă în timp ca oscilație armonică (adică dependența de timp a acestei forțe să fie sinusoidală) .

Amplitudine.

Amplitudinea este valoarea maximă a deplasării sau modificării unei variabile față de valoarea medie în timpul mișcării oscilatorii sau ondulatorii. O mărime scalară nenegativă a cărei dimensiune coincide cu dimensiunea mărimii fizice care se definește.

În caz contrar: Amplitudinea este modulul abaterii maxime a corpului de la poziția de echilibru. De exemplu:

§ amplitudinea pentru vibrația mecanică a unui corp (vibrație), pentru undele pe o sfoară sau arc - aceasta este distanța și se scrie în unități de lungime.

Frecvență.

Frecvență- o mărime fizică, o caracteristică a unui proces periodic, egală cu numărul de cicluri complete ale procesului încheiat pe unitatea de timp. Notațiile standard în formule sunt , sau . Unitatea de frecvență SI este în general Hz. Reciproca frecvenței se numește perioadă.

Procesele periodice sunt cunoscute în natură cu frecvențe de la ~10 −16 Hz (frecvența revoluției Soarelui în jurul centrului galaxiei) până la ~10 35 Hz (frecvența oscilațiilor câmpului caracteristică celor mai înalte raze cosmice).

Pendul de primăvară.

Un pendul cu arc este un sistem mecanic format dintr-un arc cu un coeficient de elasticitate (rigiditate) k (legea lui Hooke), al cărui capăt este fixat rigid, iar pe celălalt există o sarcină de masă m.

Când o forță elastică acționează asupra unui corp masiv, readucendu-l într-o poziție de echilibru, ea oscilează în jurul acestei poziții. Un astfel de corp se numește pendul cu arc. Oscilațiile apar sub influența unei forțe externe. Oscilațiile care continuă după ce forța externă a încetat să mai acționeze se numesc libere. Oscilațiile cauzate de acțiunea unei forțe externe se numesc forțate. În acest caz, forța în sine se numește forțare.

În cel mai simplu caz, un pendul cu arc este un corp rigid care se deplasează de-a lungul unui plan orizontal, atașat printr-un arc de un perete.

Pendul matematic.

Pendul de matematică- un oscilator, care este un sistem mecanic format dintr-un punct material situat pe un fir inextensibil imponderabil sau pe o tija imponderabila intr-un camp uniform de forte gravitationale. Perioada de mici oscilații naturale ale unui pendul matematic de lungime L nemișcat suspendat într-un câmp gravitațional uniform cu accelerație de cădere liberă g egală

si nu depinde de amplitudinea si masa pendulului.

Un pendul matematic plat cu tijă este un sistem cu un grad de libertate. Dacă tija este înlocuită cu un filet de tracțiune, atunci acesta este un sistem cu două grade de libertate cu o conexiune. Un exemplu de problemă școlară în care trecerea de la unul la două grade de libertate este importantă.

Cu oscilații mici, un pendul fizic oscilează în același mod ca unul matematic cu lungime redusă.

Pendul fizic.

Un pendul fizic este un oscilator, care este un corp solid care oscilează într-un câmp de forțe în raport cu un punct care nu este centrul de masă al acestui corp sau o axă fixă ​​perpendiculară pe direcția de acțiune a forțelor și nu. trecând prin centrul de masă al acestui corp.

8) Vibrații cu frecare. Funcția disipativă.

În sistemele reale, disiparea energiei are loc întotdeauna. Dacă pierderile de energie nu sunt compensate de dispozitive externe, atunci oscilațiile se vor estompa în timp și după un timp se vor opri cu totul. Să luăm în considerare oscilațiile unui pendul cu arc într-un mediu vâscos.

Pentru un corp care se deplasează într-un mediu vâscos omogen, forța de frecare depinde doar de viteză. La viteze mici putem presupune că forța de frecare

, unde beta este un coeficient constant pozitiv.

Spre energie

Concluzii.

· Natura vibrațiilor naturale în prezența forței de frecare este determinată de relația dintre și . La – modul aperiodic (3); – oscilațiile sunt descrise printr-o lege periodică cu o amplitudine care descrește exponențial cu timpul (4); – modul critic de atenuare (5).

· Factorul de calitate al unui sistem oscilator este un parametru foarte important care caracterizează procesele de disipare din sistem.

Funcția disipativă(funcția de împrăștiere) - o funcție introdusă pentru a lua în considerare trecerea energiei mișcării ordonate în energia mișcării dezordonate, în cele din urmă în energie termică, de exemplu, pentru a lua în considerare influența forțelor de frecare vâscoase asupra mișcării unui sistem mecanic. Funcția disipativă caracterizează gradul de scădere a energiei mecanice a acestui sistem. Funcția disipativă împărțită la temperatura absolută determină viteza cu care crește entropia în sistem (așa-numita producție de entropie). Funcția disipativă are dimensiunea puterii.

9) Vibrații forțate fără frecare. Bătaie. Rezonanţă.

©2015-2019 site
Toate drepturile aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde autor, dar oferă o utilizare gratuită.
Data creării paginii: 20-08-2016